Mechanika Płynów

|

Jak najszybciej obliczyć zadanie z równaniem Bernoulliego?

Równanie Bernoulliego. W tym wpisie pokaże jak łatwo i szybko rozgryźć każde zadanie bazujące na jego znajomości.

Laura Majnusz

Laura Majnusz

O autorze
Laura Majnusz
Laura Majnusz

Wyjaśnię Ci m.in. na czym polega stechiometryczne bilansowanie pierwiastków, bilans energii i egzergii w komorze spalania ....

więcej

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii na linii prądu dla cieczy idealnej (czyli nielepkiej). 

Całkowita energia jednostki masy takiego płynu składa  się z energii kinetycznej, potencjalnej i wewnętrznej (ciśnienia) i w każdym punkcie danej linii prądu jest stała.

W tym wpisie pokaże jak łatwo i szybko rozgryźć każde zadanie bazujące na znajomości tego równania.

Przykład - przelewanie wody przez lewar hydrauliczny

Załóżmy, że musimy przetransportować wodę ze zbiornika górnego do dolnego za pomocą rury. Aby wymusić ruch wody, należy wytworzyć podciśnienie w rurze. 

Należy obliczyć wydatek wody (objętościowe natężenie przepływu) oraz ciśnienie panujące w lewarze przy średnicy d= 70mm i podanych wysokościach wody w zbiornikach.

‍Rys. 1 Zadanie z kinematyki płynów - równanie Bernoulliego

Pierwszą rzeczą, jaką należy wykonać jest tabelka. 

Każda kolumna odnosi się do charakterystycznych przekrojów, w tym zadaniu mamy przekrój 0, 1 i 2. 

Każdy wiersz obejmuje składowe sumy występujące w równaniu Bernoulliego (prędkość, ciśnienie i wysokość).

Zanim jednak ją zapiszemy, musimy określić poziom odniesienia, względem którego będziemy mierzyć odległości. 

Najłatwiej przyjąć poziom najniżej jak to jest możliwe, czyli w naszym wypadku będzie to poziom 1-1.

Rys. 2 Przyjęcie poziomu odniesienia

Zaczynając od prędkości - zawsze przyjmujemy, że prędkość poruszania się lustra wody w zbiorniku jest bardzo mała i w przybliżeniu równa zeru. 

Dlatego w przekroju 0-0 zapiszę 0. W przekroju 1-1 i 2-2 na tym etapie nie znamy prędkości, zostawiam więc niewiadome.

Ciśnienie na powierzchni lustra wody jest równe atmosferycznemu. 

W przekroju 1-1 ciśnienie będzie równe ciśnieniu atmosferycznemu plus ciśnieniu hydrostatycznemu ( wzór ph=⍴gh) słupa wody o wysokości x. W trzeciej kolumnie zostawiam niewiadome.

Wysokości względem poziomu odniesienia - na tym etapie wartość x jest nieznana. 

Gotowa tabelka prezentuje się następująco (niebieskim zaznaczyłam znane wartości, pomarańczowym opisane jakąś zależnością,  a czerwonym szukane):

Tab.1 Składowe energii linii prądu w poszczególnych przekrojach

Teraz patrząc na tabelkę możemy zobaczyć, w której kolumnie występuje ile niewiadomych. 

Zapisując jedno równanie Bernoulliego możemy wyznaczyć 1 niewiadomą, dlatego w pierwszym kroku zapiszemy równanie pomiędzy przekrojem 0-0 a 1-1 (1 niewiadoma v1):

Rys. 3 Równanie Bernoulliego dla przekroju 0-0 i 1-1

Z równania ciągłości wynika, iż prędkość w rurze jest na całej długości stała (przekrój rury jest stały o średnicy d).. Prędkość v2  jest więc równa prędkości w przekroju wylotowym rury 1-1:

‍Tab.2 Składowe energii linii prądu -  II etap zadania

Jak widać, została nam już tylko 1 niewiadoma - ciśnienie w kolanie lewara. 

Wybieramy więc wygodne dla nas równanie Bernoulliego - pomiędzy przekrojem 0-0 a 2-2. 

Można również zapisać równanie między 1-1 a 2-2 - wynik powinien wyjść taki sam. 

Dla przećwiczenia polecam rozwiązać je drugim sposobem.

Rys. 4 Równanie Bernoulliego dla przekroju 0-0 i 2-2

Teraz został nam do policzenia wydatek wody. 

Jest on równy iloczynowi prędkości w lewarze oraz pola przekroju rury (oznaczone jako A):

Rys. 5  Obliczenie wydatku wody w lewarze

I tym przejrzystym sposobem rozwiązywania zadań  z kinematyki płynów chciałam się z Wami podzielić. 

Myślę, że o wiele lepiej zebrać wszystkie dane i niewiadome w jednej tabelce i wybierać pomiędzy którymi przekrojami zapisywać równanie Bernoulliego tak, aby dojść do rozwiązania jak najszybciej.

zobacz jak uczę

Jak najszybciej obliczyć zadanie z równaniem Bernoulliego?
Laura Majnusz

Jestem studentką kierunku Energetyka na Politechnice Śląskiej. Lubię opowiadać w prosty sposób o skomplikowanych zagadnieniach. Moje zajęcia to nie wykład!

Dołącz do dyskusji:

Napisz do mnie lub zadzwoń

Rafał Mstowski

Napisz:

rafal@eduo.pl

Zadzwoń:

+48 781 330 467
‎66 opinii - 896 godzin korepetycji