Wytrzymałość Materiałów

|

Rama statycznie niewyznaczalna - twierdzenie Menabrei

Jak krok po kroku sporządzić wykresy momentu gnącego w ramie statycznie niewyznaczalnej metodą Menabrei?

Rafał Mstowski

Rafał Mstowski

O autorze
Rafał Mstowski
Rafał Mstowski

Korepetytor przedmiotów technicznych z ponad 12 letnim doświadczeniem.

więcej

Metoda Menabrei - zastosowanie

Twierdzenie Menabrei służy do obliczania wykresów sił wewnętrznych oraz przemieszczeń w ustrojach (układach) statycznie niewyznaczalnych i jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Castigliana.

Twierdzenie Menabrei pozwala nam na obliczenie nadliczbowych reakcji podporowych w belkach lub ramach statycznie niewyznaczalnych. Po wyznaczeniu reakcji nadliczbowych pozostałe reakcje możemy już wyznaczać przy wykorzystaniu standardowego zestawu trzech równań równowagi.

Przykład - Rama statycznie niewyznaczalna, wyznaczanie wykresu momentów gnących

Na przykładzie ramy statycznie niewyznaczalnej pokaże w jaki sposób wykorzystując Twierdzenie Menabrei w szybki sposób, krok po kroku narysować wykres momentu gnącego.

Mam przykład ramy statycznie niewyznaczalnej obciążonej jak na rysunku.

rama statycznie niewyznaczalna metoda Menabrei
Rys. 1 Rama statycznie niewyznaczalna - metoda Menabrei

Na początku zadania, muszę ustalić stopień statycznej niewyznaczalności naszego układu (SSN). Stopień statycznej niewyznaczalności to ilość nadliczbowych więzów ponad niezbędne minimum wytaczające do tego aby układ był statyczny (nieruchomy).

Mogę skorzystać z następującego wzoru:

SSN = LR - LRR - LPW

Gdzie:

SSN - stopień statycznej niewyznaczalności

LR - liczba reakcji podporowych

LRR - liczba równań równowagi (na płaszczyźnie zawsze 3)

LP - liczba przegubów wewnętrznych

rama statycznie niewyznaczalna metoda Menabrei stopień statycznej niewyznaczalności
Rys. 2 Stopień statycznej niewyznaczalności

Korzystając z powyższego wzoru obliczyłem stopień statycznej niewyznaczalności ramy. Następnie szukam takiego przemieszczenia w ramie, które będzie mi znane. Z całą pewnością mogę powiedzieć, że przemieszczenie poziome punktu "B" będzie równe zero. Przemieszczenie będzie zerowe ponieważ w punkcie "B" przyłożona jest podpora przegubowa przesuwna, która w tym przypadku blokuje ruch poziomy.

rama statycznie niewyznaczalna metoda Menabrei przemieszczenie
Rys. 3 Rama statycznie niewyznaczalna - metoda Menabrei

Następnie przyjmuje schemat zastępczy taki, w którym powyższe przemieszczenie nie będzie równe zero. Mogę w takim przypadku odrzucić podporę przegubowo przesuwną w punkcie "B" co spowoduje, że przemieszczenie poziome stanie się możliwe.

Rys. 4 Schemat zastępczy - Metoda Menabrei

Przyjmując schemacie zastępczym w miejscu odjętej podpory wstawiamy siłę, którą możemy oznaczyć X1 lub po prostu symbolem reakcji Rb.

W kolejnym etapie zadania podzielę ramę na przedziały charakterystyczne w funkcji długości "x" oraz obliczam wartości reakcji podporowych w punkcie "D" w zależności od szukanego parametru Rb. W każdym przedziale charakterystycznym tj. AB , BC i CD wyznaczam funkcję momentów gnących w funkcji długości "x" w zależności od szukanego parametru Rb

Następnie w każdym z przedziałów obliczam pochodną cząstkową z funkcji długości po nadliczbowej reakcji Rb.

funkcje momentów gnących metoda Menabrei
Rys. 5 Funkcje momentów gnących - metoda Menabrei

Pozostał mi do wykonania ostatni etap zadania czyli obliczenie całek oznaczonych od początku do końca długości każdego z przedziałów z funkcji momentów gnących w danym przedziale przemnożonej przez obliczaną wcześniej pochodną cząstkowa tej funkcji po reakcji Rb. 

Całe nasze wyrażenie całkowe możemy przyrównać do zera wiedząc że przemieszczenie poziome w punkcie "B" naszej ramy zawsze będzie równe zero.

całkowanie funkcji momentów gnących twierdzenie Menabrei
Rys. 6 Całkowanie funkcji momentów - metoda Menabrei

Z powyższego równania wyznaczamy rekcję Rb. Znając reakcję Rb możemy już bez problemu wyznaczyć pozostałe reakcje podporowe i narysować wykres momentów gnących.

Zachęcam wszystkich do dyskusji na forum poniżej w temacie Twierdzenia Menabrei. Postaram się odpowiedzieć na wszystkie Wasze pytania i wątpliwości.

zobacz jak uczę

Rama statycznie niewyznaczalna - twierdzenie Menabrei
Rafał Mstowski

Korepetytor przedmiotów technicznych z ponad 12 letnim doświadczeniem. Absolwent Wydziału Inżynierii Lądowej na Politechnice Krakowskiej.

Dołącz do dyskusji:

Napisz do mnie lub zadzwoń

Rafał Mstowski

Napisz:

rafal@eduo.pl

Zadzwoń:

+48 781 330 467
‎66 opinii - 896 godzin korepetycji