Mechanika Techniczna

|

Kratownice krok po kroku - Metoda równoważenia węzłów

Jak obliczyć siły w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej przy wykorzystaniu metody równoważenia węzłów?

Rafał Mstowski

Rafał Mstowski

O autorze
Rafał Mstowski
Rafał Mstowski

Korepetytor przedmiotów technicznych z ponad 12 letnim doświadczeniem.

więcej

Mam daną kratownicę o schemacie statycznym jak na rysunku poniżej.

kratownica statycnie wyznaczalna
Rys. 1 Kratownica statycznie wyznaczalna

Pokaże jak krok po kroku rozwiązać zadanie polegające na obliczeniu sił we wszystkich prętach tej kratownicy przy wykorzystaniu metody równoważenia węzłów. 

Obliczam reakcje podporowe

W poprzednim wpisie wyznaczyłem wartości reakcji podporowych w powyższej kratownicy, skorzystam zatem z otrzymanych rozwiązań. Jeśli ktoś chciałby poznać w jaki sposób obliczyłem reakcje podporowe zapraszam do zapoznania się z moim poprzednim wpisem.

kratownica obliczanie reakcji podporowych
Rys. 2 Obliczenie reakcji podporowych w kratownicy

Mając wyznaczone wartości wszystkich reakcji podporowych w mojej kratownicy mogę przystąpić do obliczania sił wewnętrznych w prętach wykorzystując metodę równoważenia węzłów.

Metoda równoważenia węzłów

Metoda równoważenia węzłów polega na wycinaniu poszczególnych węzłów z kratownicy oraz obliczania na postawie równowagi sił wewnętrznych i zewnętrznych wartości sił w poszczególnych prętach. Do obliczeń mogę używać dwóch równań równowagi tj. sumy rzutów sił pionowych oraz sumy rzutów sił poziomych.

Biorąc pod uwagę to, że mam do dyspozycji dwa równania równowagi, mogę wyciąć wyłącznie taki węzeł, w którym nieznane są wiły tylko w dwóch prętach. Zgodnie z powyższym bezcelowe byłoby wycinanie węzła nr 1 ponieważ schodzą się w nim trzy pręty, w których nie znamy wartości siły osiowej.

Wyciąć mogę węzeł nr 5, w którym schodzą się wyłącznie dwa pręty.

Rys. 3 Wycięcie węzła nr 5

Wycięcia dokonuje bardzo blisko punktu 5 ale nie w samym punkcie, w tzw. granicy punktu. Zaznaczam wektory sił w prętach 5-4 i 1-5. Zakładając zwrot do wewnątrz pręta, zakładam jednocześnie że siły N54 i N15 są siłami wewnętrznymi powstającymi na skutek rozciągania prętów. Obliczenia pokażą czy moje założenie było prawdziwe.

Wykorzystując równanie sumy rzutów sił na oś x, szukam w naszym wyciętym węźle wszystkich sił równoległych do osi x. Jeśli zwrot siły jest zgodny ze zwrotem osi x wpisuje siłę ze znakiem dodatnim, jeśli przeciwny ze znakiem ujemnym. Analogicznie postępuje wykorzystując równanie sumy rzutów sił na oś y.

Na podstawie dwóch powyższych równań równowagi wyznaczam wartości sił N54 i N15. Obie wartości sił wyszły ujemne co oznacza, że moje wstępne założenie zwrotu sił w prętach było błędne. Oba pręty schodzące się w węźle nr 5 są prętami ściskanymi.

kratownica metoda wycinania węzłów wycięty węzeł obliczanie sił wewnętrznych
Rys 4. Wycięcie węzła nr 1

Kolejnym węzłem, który mogę wyciąć jest węzeł nr 1. Znając wartość siły w pręcie N15 mogę obliczyć wartości sił w prętach N12 i N14.

Już na początku muszę zauważyć, że pręt N14 jest prętem ukośnym a co za tym idzie siła wewnętrzna w tym pręcie również jest siłą o kierunku działania pod kątem alfa do osi x i y. Abym mógł zapisać równania sumy rzutów sił na oś x i y, muszę uprzednio rozłożyć siłę w pręcie N14 na dwie składowe równoległe do każdej z osi naszego układu współrzędnych tj. składową N14x i N14y.

Wykonuje prostokątne rzutowanie wektora N14 na oś x i y. Powstają dwa trójkąty prostokątne. Następnie korzystając z własności funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym obliczam składową poziomą i pionową siły w pręcie N14.

Następnie zapisując równania sumy rzutów sił na oś x i y obliczam wartości sił w prętach N14 i N12.

metoda węzłowa wycinania węzłów wycięcie węzła w kratownicy
Rys.5 Wycięcie węzła nr 2

Kolejnym węzłem, który mogę wyciąć z uwagi na fakt, że są w nim wyłącznie dwie niewiadome siły w prętach jest węzeł nr 2. Wycinając węzeł nr 2 mogę obliczyć siłę w prętach N23 i N34 ponieważ wcześniej obliczyłem siłę w pręcie N12.

W obliczeniach korzystam z sumy rzutów sił na oś x i y szukając odpowiednio sił równoległych do osi i jeśli zwrot siły jest zgodny z założonym zwrotem osi siła w równaniu jest dodatnia, jeśli zwrot jest przeciwny to siła jest ujemna.

Tym sposobem wyznaczam siły w prętach N23 i N34.

metoda równoważenia węzłów wycięty węzeł
Rys. 6 Wycięcie węzła nr 3

Zachęcam Was do zadawania pytań i dodawania komentarzy na forum poniżej. Postaram się rozwiać wszystkie Wasze wątpliwości.

zobacz jak uczę

Kratownice krok po kroku - Metoda równoważenia węzłów
Rafał Mstowski

Korepetytor przedmiotów technicznych z ponad 12 letnim doświadczeniem. Absolwent Wydziału Inżynierii Lądowej na Politechnice Krakowskiej.

Dołącz do dyskusji:

Napisz do mnie lub zadzwoń

Rafał Mstowski

Napisz:

rafal@eduo.pl

Zadzwoń:

+48 781 330 467
‎66 opinii - 896 godzin korepetycji